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第5章（第2页）

上帝存在，因为数学法则是前后一致的；魔鬼也存在，因为我们不能证明数学法则的一致性。

安德烈·韦伊

如果“宗教”的含义就是一个包含无法得证的声明的思想体系，那么哥德尔已经教导过我们这点，数学不仅是宗教，而且是唯一可以证明自己算得上宗教的宗教。

约翰·巴罗

真实存在的数字与数学法则

我两次计算一列数字的和，最终得到了两个不同的答案，此时我相信我肯定是计算出错了。因为我认为计算结果应该是一致的。它不可能自相矛盾。

为什么我应该相信数学而不是自己呢？下面的论点最有说服力，而且尽人皆知：数学法则肯定是具有一致性的，因为它们在逻辑上都是真实存在的，在逻辑上真实存在的论断不会相互矛盾。

要接纳这个论点，你首先必须相信数学法则在逻辑上是真实存在的。而要相信这一点，你就必须相信数学法则是实实在在的。“所有glorph都是gumbel”，我无法判断这个论点的真假，因为我们并没有定义过“glorph”的含义。“一列数字只会有一个和”，这个论点是真的，仅仅是因为数学法则是真实存在的具体事物。

我们有很多其他办法来证明数学法则具有一致性，但最简单的办法就是，既然自然数存在，那么数学法则也是真实存在的。与之相比，其他证明办法都基于那些不太能够达到不证自明境界（而且因此更加令人怀疑）的原理。如果你跟的数学研究者一样，跟的用过计算器的人一样，你就会相信数学法则的一致性，这几乎肯定是因为你发自内心地相信自然数从某种重要意义上来说是真实存在的。

诚然，“真实”这个词用在这里有些含糊。如果你想理解得更深刻一点，让我们给它下一个定义：“自然数是真实存在的”就意味着数学法则是具有一致性的。

和你一样，我也相信自然数是真实存在的；和你一样，我几乎无法找到宝贵的证据来证明这一信念。诚然，我一生都在研究数字，而且我从来没发现过前后不一致的情况。但是，证据是这么零碎且显得微不足道：我研究过的数字都是经过精心挑选的。我尝试过把一列4位、5位或6位的数字加起来，但我从来没有运算过亿万位数字的加法。然而，位数不多的数字的整体数量是可数的，亿万位数字则有无限多个，它们才是绝大多数。所以，我并没有直接证据来描述绝大多数数字的特征。

一个顽固的怀疑论者可能会得出这样的结论：因为我们没有大量的经验，所以我们无法判断它们是否表现得具有一致性，甚至我们无法判断它们是否真实存在。这种顽固的怀疑论被命名为“叶塞林–沃尔平理论”。它来自亚历山大·叶塞林–沃尔平（Alexander Yessenin-Volpin），一位偏执的数学家、一位在前苏联时代的精神病院里大写“反苏诗歌”的勇敢的持不同政见的人。根据“叶塞林–沃尔平理论”，我们应该只去关注那些“小到足够让人思考的地步”的数字。这种理论被视为“极端有限主义”（ultrafinitism），而且几乎没有数学家会去认真对待它。

为了反驳这种“极端有限主义”，主流数学家可能会反问道：“我们究竟如何来判断那些数字属于‘小到足够让人思考的地步’的范畴呢？或许一两位的数字肯定算，而30位的数字就不算。那么，界限是多少位？”

永恒的数学（2）

哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）就是这样一位主流数学家，他还不到19岁就在数理逻辑方面作出了两大显著贡献，并且因此被斯坦福大学聘请为教授。弗里德曼曾试图批驳“叶塞林–沃尔平理论”，以下就是当时他作出的解释：

“我从2开始，询问他这个数字是否‘真实’或者能让人感到‘真实’的效果。他几乎立即表示同意。然后我询问4，他仍然同意，但略有停顿。接下来是8，他还是同意，但更加犹疑。反复这样做，直到他处理这种讨论的方式已经很明显了。当然，他已经准备好回答‘是’了，尽管他在面对2的100次方时要比面对2时犹疑得多。（2的100次方就是一个30位的数字。）除此之外，我也没办法这么快就得到这个结果。”

最后，弗里德曼和叶塞林–沃尔平达成了共识。几乎每个数学家在面对大数字的真实性时都与弗里德曼持有相同立场，几乎没有人和叶塞林–沃尔平站到一边去当“极端有限主义者”。我们不但相信数学法则，也相信代数、几何和数学的其他部分是真实可信的。但我们几乎没有丝毫逻辑理念和证据来支持这种信念。

经过深思，我们还是可以了解这种没有逻辑和证据支持的信念，这似乎并不奇怪。毕竟，蜘蛛知道如何织网，并不需要去寻找“第一定理”来推断出织网技术或者认真观察其他蜘蛛的工作过程以便推断出来。你可以辩解说蜘蛛的本能反应是下意识的，而这不能算是知识。但是，如果蜘蛛可以硬生生地开始织网，为什么人们不可以也硬生生地理解数学呢？从原则上来讲，我找不到反对人们硬生生地理解数学的理由。